Nanotechnologia

Topologiczne stany materii w strukturach fraktalnych

Weronika Pasek

artykuł laureata konferencji Sympozjum Młodych Naukowców 2020

Jednym z najbardziej interesujących obszarów, badanych przez współczesną fizykę są topologiczne stany materii. Topologia jest działem matematyki, który zajmuje się własnościami obiektów matematycznych nie zmieniającymi się podczas ciągłych transformacji, takich jak rozciąganie i ściskanie, ale nie rozcinanie czy sklejanie. Przykładem tego typu transformacji jest deformacja kubka w torus (obwarzanek). Podczas takiej transformacji pusta przestrzeń wewnątrz uszka kubka zmienia się w „dziurkę” w obwarzanku. Liczba dziur w obiekcie nazywana jest genusem i jest przykładem niezmiennika topologicznego. W sensie topologicznym kubek jest równoważny torusowi, którego genus również wynosi jeden i może zostać w niego przekształcony za pomocą transformacji ciągłych. W przypadku kuli taka transformacja nie jest możliwa, gdyż wymagałaby zaklejenia dziury w uchu kubka, genus kuli wynosi zero. Ogólnie, niezmienniki topologiczne są własnościami przestrzeni zachowanymi podczas ciągłych transformacji.

Efekty fizyczne związane z wartościami niezmienników topologicznych są bardzo silne, ponieważ małe (lokalne) deformacje systemu nie mają wpływu na ich wartość. Początkiem badań nad właściwościami topologicznymi ciał stałych było opisanie kwantowego efektu Halla. Klasyczny efekt Halla występuje na przykład w półprzewodnikach, przez który płynie prąd, umieszczonych w prostopadłym polu magnetycznym. W polu elektromagnetycznym, na poruszającą się naładowaną cząstkę działa siła Lorentza. W wyniku jej działania tor ruchu nośników zostaje odchylony w kierunku krawędzi, a zgromadzony na krawędziach próbki ładunek powoduje pojawienie się niezerowego poprzecznego napięcia, nazywanego napięciem Halla. Opór Halla związany z tym napięciem jest mierzony poprzecznie do przepływu ładunków. Jeżeli ograniczymy ruch elektronów do dwóch wymiarów, w niskiej temperaturze i silnym polu magnetycznym wystąpi całkowity kwantowy efekt Halla (Integer Quantum Hall Effect, IQHE). Eksperymentalnie efekt ten można zaobserwować np. w heterostrukturach arsenku galu oraz części innych półprzewodników. Przy zmianie natężenia pola, poprzeczna oporność hallowska przyjmuje wartości dyskretne, a kwantująca ją liczba całkowita jest niezmiennikiem topologicznym – liczbą Cherna. Ze względu na topologiczny charakter niezmiennika, dokładność kwantyzacji oporu nie zależy od kształtu i jakości próbki. Ponad to na jej krawędziach pojawiają się przewodzące, jednowymiarowe stany nazywane krawędziowymi, które przewodzą prąd bez oporu i są odporne na nieporządek. Przepływ prądu z zerowym oporem jest bardzo pożądany, ponieważ nie występują straty energii. Wartość liczby Cherna jest równa liczbie występujących w układzie par stanów krawędziowych.

Całkowity kwantowy efekt Halla może występować również bez obecności pola magnetycznego w dwuwymiarowych układach o niezerowej liczbie Cherna. Są to tzw. izolatory Cherna. W spektrum energetycznym IQHE występują tzw. poziomy Landaua, których liczba Cherna jest równa 1. W przypadku izolatorów Cherna w układzie mogą występować również wyższe wartości niezmiennika. Zarówno w przypadku izolatorów Cherna jak i IQHE odziaływania między elektronami są zaniedbywalnie małe. Mówi się wtedy o tak zwanym gazie elektronowym. Gdy oddziaływania stają się silniejsze i zaczynają odgrywać kluczową rolę, elektrony zaczynają zachowywać się jak dwuwymiarowa ciecz kwantowa. Prowadzi to do pojawienia się bardziej egzotycznych efektów topologicznych, takich jak ułamkowy kwantowy efekt Halla oraz ułamkowe izolatory Cherna. Zjawiska te charakteryzują się wartością ułamkową liczby Cherna, która z definicji powinna być całkowita. Tą niezwykłą własność wyjaśnić można za pomocą teorii złożonych fermionów – kwazicząstek składających się z elektronów (fermionu) oraz kwantów strumienia magnetycznego. W przestrzeniach trójwymiarowych wszystkie cząstki elementarne dzielą się na bozony (np. foton) oraz fermiony (np. elektron), jednak w przestrzeniach o niższych wymiarach mogą również występować inne statystyki cząstek. Kwazicząstka opisana powyżej jest anyonem, więc nie podlega statystyce bozonowej ani fermionowej. Własności topologiczne takich układów mogą umożliwić np. zbudowanie topologicznego komputera kwantowego o dużej odporności na zakłócenia z zewnątrz.

W ostatnich latach zaczęto badać układy IQHE w geometriach fraktalnych. Fraktale są strukturami matematycznymi, które cechują się samopodobieństwem. Oznacza to, że ich fragmenty są podobne do całości. Wymiar Hausdorffa struktur fraktalnych jest zazwyczaj różny od ich wymiaru topologicznego. Najprostszym przykładem fraktala jest tzw. kurz Cantora, będący pewnym zbiorem punktów na odcinku. Powstaje on przez podzielenie odcinka na trzy równe części i usunięcie środkowej, a następnie powtarzanie rekurencyjnie tej operacji na pozostawionych fragmentach. Podobną procedurę można przeprowadzić na kwadracie, rekurencyjnie dzieląc go na dziewięć mniejszych kwadratów i usuwając środkowy. Otrzymany fraktal nazywany jest dywanem Sierpińskiego. Własności topologiczne dywanu Sierpińskiego w polu magnetycznym były badane w pracach teoretycznych, w których wykazano występowanie w nich liczby Cherna równej 1. W naszych badaniach skupiamy się na analizie modeli izolatorów Cherna w geometrii fraktalu, w których możliwe jest występowanie liczby Cherna równej 2.

O autorce

Weronika Pasek (ur. w 1997 r. w Lublinie) jest studentką ostatniego roku inżynierii kwantowej na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej. W swoich badaniach naukowych skupia się na efektach topologicznych w fizyce ciała stałego. Jej praca magisterska opisuje właściwości topologiczne sieci o ułamkowych wymiarach Hausdorffa. Interesuje się również kwantową teorią pola w zakrzywionych czasoprzestrzeniach oraz statystykami nieabelowymi cząstek. W wolnym czasie zajmuje siępoezją i sztuką wizualną.